समाकलन $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^{2}+2x+5}$ का मान ज्ञात कीजिए।

(D) हमें समाकलन $I = \int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^{2}+2x+5}$ दिया गया है।
सबसे पहले,हर में पूर्ण वर्ग बनाने पर: $x^{2}+2x+5 = (x^{2}+2x+1) + 4 = (x+1)^{2} + 2^{2}$.
अतः,$I = \int_{-1}^{1} \frac{dx}{(x+1)^{2} + 2^{2}}$.
माना $u = x+1$,तो $du = dx$.
समाकलन की सीमाएं बदलने पर:
जब $x = -1$,तब $u = -1+1 = 0$.
जब $x = 1$,तब $u = 1+1 = 2$.
अब,समाकलन $I = \int_{0}^{2} \frac{du}{u^{2} + 2^{2}}$ हो जाता है।
मानक सूत्र $\int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \left[ \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{u}{2}) \right]_{0}^{2}$.
सीमाओं का मान रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{2}{2}) - \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{0}{2})$
$I = \frac{1}{2} \tan^{-1}(1) - \frac{1}{2} \tan^{-1}(0)$
$I = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{4}) - \frac{1}{2} (0) = \frac{\pi}{8}$.